解析的方法
這個魔術包含了兩個數學方法或內容，為了更為明顯和清晰地揭開之謎，下面採用環形的方式，將牌翻過來，這樣我們可以清楚看到其中的數學原理。
將一張紙分為4份，即4張牌。在每張牌的中間畫上不同圖案，兩邊分別標記上A, B, C, D。
充分洗好牌後，中間對折。
按對折線撕開，每半疊牌各有4張。
將這兩疊牌上下合並起來，成一副共8張的牌。
為了更為明顯和清晰地揭開魔術之謎，將牌按照從上到下或從頭到尾的順序，將畫面和字母面向上，按環形順時針方向進行排列；用綠色標記紙條標記最底下即尾牌，尾牌順時針方向的下一牌為頭牌。
作為一個的例子，這裡我們以D牌為尾；尾牌順時針方向下一牌是頭牌，即A牌，頭牌下面的牌依次為B, C, ...。
將牌準備好之後，下面開始僅按照魔術中的兩個關鍵數學方法或問題，來揭曉魔術之謎啦！
數學問題一 排列規律
魔術採用的第一個數學方法是有規律的排列。
按照如上圖示，從攤開放在桌面的牌，我們可以看出，無論選擇哪一張牌為頭牌，依次排列的牌都有一個共同的規律，即前4張牌的順序，與後4張牌都是一樣的。下面是幾個例子：
D牌為頭牌，牌的排列為：D-A-B-C D-A-B-C
A牌為頭牌，牌的排列為：A-B-C-D A-B-C-D
B牌為頭牌，牌的排列為：B-C-D-A B-C-D-A
等等
無論如何開始時洗牌，分開兩半之後，疊合在一起，牌的順序都符合這一規律；而且，將頭牌放到尾牌之後，無論這個過程重複多少次，這個排序規律仍然保持不變。
進一步分析，我們還可以發現，從頭牌開始，取出頭3張牌，剩下的牌為5張。這5張頭牌和尾牌都是原同一張牌的左右兩半！以D牌為頭牌的情況為例，取出頭3張牌之後，餘下5張牌的頭尾牌都是C
根據這些數學規律，魔術的下一步驟是，將頭3張取出的牌，插入餘下5張牌任何中間的位置，如下橙色箭頭的位置
任意選擇一插入的位置，即如下圖中所示，B牌與尾牌C之間
下面是插入後，8張牌的排列情況
現在頭尾都是C牌。將頭牌C取出，作為神秘牌藏在一邊
餘下的牌數為7張牌，神秘牌放在圓形中間。
注意，現在的尾牌為C，這是關鍵的牌和位置。尾牌之前的6張牌，這時，其排列順序可以說是無關重要了。魔術中的忽悠或迷惑步驟，將這6張牌任意排列或插入。實際上，你也可以採用其它不同方式任意排列這六張牌。到此為止，你清楚明白，並要記住，最後一張牌就是你要匹配神秘牌的另一半。
數學問題二 約瑟夫問題
魔術採用的第二個數學內容是著名的約瑟夫問題(Josephus problem)。
這是一個古老的戰爭中一個故事，史學家約瑟夫和一群n個士兵一次戰役中被圍困無法逃脫，為避免被俘獲受害，只能採用自殺方式來自決。於是他們設計了一種方式，藉上帝選擇之手或者幸運，排成圓形的士兵按照一定的順序刺殺下一個士兵，直到留下的最後一人再自殺。實際上，這個最後一人可以因唯一的生存而逃生。
這個故事後來衍生為一個數學的問題：n個士兵，排成圓形的環，從某個作為第一開始順時針數數，奇數的留下，偶數的去掉，重複這一過程，直至最後一個留下。從數學理論來說，對於一個n個士兵點的圓形鏈list，求解的這個能留下的士兵的排列位置數index。於是這個任意n點環鏈的最後倖存位置之求解，成為一個非常有意思的純數學和計算機科學之問題。
劉謙魔術就是根據這一數學問題來設計的，n張牌，如何巧妙將最後一張可以匹配的牌，擺放到求生的位置，這樣就可以成功完成匹配神秘牌的魔術。劉謙玩的牌是6張或6張環形的約瑟夫數學問題。碰巧的是，採用7字秘訣的移動牌方式，正好可以將最後一張牌移動到最後倖存的位置！（我發現，實際上，如果是7張牌的情況，即不用拋出任何牌，同樣採用7字秘訣移動牌，也可以達到最後留下匹配之牌！）
根據以上7張牌的情況，拋去頭牌A後的結果，是下圖的結果：
念完7字秘訣，並依次移動牌後，原來尾牌C被移動到6環牌的第5張，這正是倖存牌的位置：
按照約瑟夫解法的奇留偶去的規則，最後的C牌正好被留下：
最後與神秘牌正好配對！
小結
劉謙巧妙利用這兩個數學規律和問題，設計了這一非常有趣的魔術。利用第一個數字排列的規律，他迅速將配對牌的牌移動到頭牌和尾牌；將頭牌作為神秘牌收藏起來，然後運用約瑟夫問題的解法，將最後配對的牌移動到正確的位置，最後得到神奇的結果。
根據如上的分析，大家還可以充分發揮，設計不同的步驟，或者不同的環形牌數，如2, 3, 5, 甚至更多的牌的魔術遊戲。
另外，你是否能發現有其它有趣的數學問題，也可以設計出魔幻的遊戲？如果發現，希望你能與大家分享！
参考
- 前期博文：2024春晚的劉謙魔術
- 計算機與數學一著名問題：約瑟夫問題(Josephus problem)
- Wikipedia：Josephus problem
- 解析約瑟夫問題的視頻。這是一個非常有趣的課程，好像是利用計算機課程中學生設計的程序和動畫模擬，很生動地講解和分析了約瑟夫問題。13:57處的列表，總結了不同士兵總數和最後能逃逸的士兵之位置。
- 火星课堂的视频：揭秘
